次の不定積分を求めよ。 $\int x\cos(x^2) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int x\cos(x^2) dx$

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を用いて解くことができます。$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

これらを元の積分に代入すると、以下のようになります。

$\int x\cos(x^2) dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$

$\cos(u)$ の積分は $\sin(u)$ であるので、

$\frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C$

最後に、$u = x^2$ を代入して元の変数に戻すと、

$\frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\sin(x^2) + C$