関数 $f(x) = e^x \sin x$ の5次導関数を $f^{(5)}(x)$ とするとき、$f^{(5)}(0)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x \sin x$ の5次導関数を $f^{(5)}(x)$ とするとき、$f^{(5)}(0)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

\begin{align*}

f(x) &= e^x \sin x \\

f'(x) &= e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \\

f''(x) &= e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x \\

f'''(x) &= 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x) \\

f^{(4)}(x) &= 2 e^x (\cos x - \sin x) + 2 e^x (-\sin x - \cos x) = -4 e^x \sin x \\

f^{(5)}(x) &= -4 e^x \sin x - 4 e^x \cos x = -4 e^x (\sin x + \cos x)

\end{align*}

したがって、

$f^{(5)}(x) = -4 e^x (\sin x + \cos x)$

なので、

$f^{(5)}(0) = -4 e^0 (\sin 0 + \cos 0) = -4 \cdot 1 \cdot (0 + 1) = -4$

3. 最終的な答え

-4