関数 $f(x) = e^x \sin x$ の5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を求め、その値 $f^{(5)}(0)$ を選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x \sin x$ の5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を求め、その値 $f^{(5)}(0)$ を選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = e^x \sin x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけることを試みます。

$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = e^x(2\cos x)$

$f'''(x) = e^x(2\cos x) + e^x(-2\sin x) = e^x(2\cos x - 2\sin x)$

$f^{(4)}(x) = e^x(2\cos x - 2\sin x) + e^x(-2\sin x - 2\cos x) = e^x(-4\sin x)$

$f^{(5)}(x) = e^x(-4\sin x) + e^x(-4\cos x) = -4e^x(\sin x + \cos x)$

したがって、$f^{(5)}(0) = -4e^0(\sin 0 + \cos 0) = -4(1)(0 + 1) = -4$

別の解法として、ライプニッツの公式を利用することもできます。

$f(x) = e^x \sin x$ に対して、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (e^x)^{(k)} (\sin x)^{(n-k)}$

$f^{(5)}(0) = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (e^0) (\sin x)^{(5-k)}|_{x=0}$

$f^{(5)}(0) = \binom{5}{0} e^0 \sin^{(5)}(0) + \binom{5}{1} e^0 \sin^{(4)}(0) + \binom{5}{2} e^0 \sin^{(3)}(0) + \binom{5}{3} e^0 \sin^{(2)}(0) + \binom{5}{4} e^0 \sin^{(1)}(0) + \binom{5}{5} e^0 \sin^{(0)}(0)$

ここで、

$\sin^{(0)}(x) = \sin(x), \sin^{(1)}(x) = \cos(x), \sin^{(2)}(x) = -\sin(x), \sin^{(3)}(x) = -\cos(x), \sin^{(4)}(x) = \sin(x), \sin^{(5)}(x) = \cos(x)$

したがって、

$\sin^{(0)}(0) = 0, \sin^{(1)}(0) = 1, \sin^{(2)}(0) = 0, \sin^{(3)}(0) = -1, \sin^{(4)}(0) = 0, \sin^{(5)}(0) = 1$

$\binom{5}{0} = 1, \binom{5}{1} = 5, \binom{5}{2} = 10, \binom{5}{3} = 10, \binom{5}{4} = 5, \binom{5}{5} = 1$

$f^{(5)}(0) = (1)(1)(1) + (5)(1)(0) + (10)(1)(-1) + (10)(1)(0) + (5)(1)(1) + (1)(1)(0) = 1 - 10 + 5 = -4$

3. 最終的な答え

-4