質量 $m = 3.0 \text{ kg}$ の物体が、$x$軸上を運動している。時刻 $t_1 = 1.0 \text{ s}$ のとき、位置 $x_1 = 4.0 \text{ m}$、速度 $v_1 = 4.0 \text{ m/s}$ であり、時刻 $t_2 = 3.0 \text{ s}$ のとき、位置 $x_2 = 6.0 \text{ m}$、速度 $v_2 = -2.0 \text{ m/s}$ である。 a. 運動エネルギーの変化量を求めよ。 b. この物体に作用している合力がした仕事を求めよ。 c. この物体に作用している合力がした平均の仕事率を求めよ。 d. この物体に作用している合力が、$x$軸と平行で、一定の大きさの力と仮定して、力の大きさと向きを答えよ。

1. 問題の内容

質量 $m = 3.0 \text{ kg}$ の物体が、$x$軸上を運動している。時刻 $t_1 = 1.0 \text{ s}$ のとき、位置 $x_1 = 4.0 \text{ m}$、速度 $v_1 = 4.0 \text{ m/s}$ であり、時刻 $t_2 = 3.0 \text{ s}$ のとき、位置 $x_2 = 6.0 \text{ m}$、速度 $v_2 = -2.0 \text{ m/s}$ である。

a. 運動エネルギーの変化量を求めよ。

b. この物体に作用している合力がした仕事を求めよ。

c. この物体に作用している合力がした平均の仕事率を求めよ。

d. この物体に作用している合力が、$x$軸と平行で、一定の大きさの力と仮定して、力の大きさと向きを答えよ。

2. 解き方の手順

a. 運動エネルギーの変化量を求める。

運動エネルギーの変化量 $\Delta K$ は、

$\Delta K = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$

で与えられる。

b. 合力がした仕事を求める。

仕事 $W$ は、運動エネルギーの変化量に等しい (仕事とエネルギーの定理)。

$W = \Delta K$

c. 平均の仕事率を求める。

平均の仕事率 $P$ は、仕事 $W$ を時間間隔 $\Delta t = t_2 - t_1$ で割ったものである。

$P = \frac{W}{\Delta t}$

d. 力の大きさと向きを求める。

力が一定であると仮定すると、仕事 $W$ は、

$W = F \Delta x$

で与えられる。ここで、$\Delta x = x_2 - x_1$ は変位であり、$F$ は力である。

力の大きさは、$F = \frac{W}{\Delta x}$ で求められる。

力の向きは、$F$ の符号によって決まる。正なら $x$ 軸正方向、負なら $x$ 軸負方向である。

a. 運動エネルギーの変化量:

$\Delta K = \frac{1}{2}(3.0 \text{ kg})(-2.0 \text{ m/s})^2 - \frac{1}{2}(3.0 \text{ kg})(4.0 \text{ m/s})^2$

$\Delta K = \frac{1}{2}(3.0)(4) - \frac{1}{2}(3.0)(16) = 6 - 24 = -18 \text{ J}$

b. 合力がした仕事:

$W = \Delta K = -18 \text{ J}$

c. 平均の仕事率:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 3.0 \text{ s} - 1.0 \text{ s} = 2.0 \text{ s}$

$P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{-18 \text{ J}}{2.0 \text{ s}} = -9.0 \text{ W}$

d. 力の大きさと向き:

$\Delta x = x_2 - x_1 = 6.0 \text{ m} - 4.0 \text{ m} = 2.0 \text{ m}$

$F = \frac{W}{\Delta x} = \frac{-18 \text{ J}}{2.0 \text{ m}} = -9.0 \text{ N}$

したがって、力の大きさは $9.0 \text{ N}$ であり、向きは $x$ 軸負方向である。

3. 最終的な答え

a. 運動エネルギーの変化量: $-18 \text{ J}$

b. 合力がした仕事: $-18 \text{ J}$

c. 平均の仕事率: $-9.0 \text{ W}$

d. 力の大きさ: $9.0 \text{ N}$、向き: $x$ 軸負方向