半径 $R$ の球に高さ $h$ の直円錐が内接している。$R \le h < 2R$ とする。 (5) 底面の半径 $r$ を $R, h$ の式で表す。 (6) 直円錐の体積 $V$ を $R, h$ の式で表す。 (7) $R \le h < 2R$ の範囲で $h$ を変化させたとき、$V$ を最大とする $h$ の値と、そのときの $V$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

半径 $R$ の球に高さ $h$ の直円錐が内接している。$R \le h < 2R$ とする。

(5) 底面の半径 $r$ を $R, h$ の式で表す。

(6) 直円錐の体積 $V$ を $R, h$ の式で表す。

(7) $R \le h < 2R$ の範囲で $h$ を変化させたとき、$V$ を最大とする $h$ の値と、そのときの $V$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(5) 底面の半径 $r$ を求める。

球の中心から底面に下ろした垂線の足は、底面の中心に一致する。

この垂線の長さは $h - R$ である。

三平方の定理より、

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

$r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$

よって、$r = \sqrt{2Rh - h^2}$

(6) 直円錐の体積 $V$ を求める。

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$

(7) $V$ を最大とする $h$ の値と、そのときの $V$ の最大値を求める。

$V(h) = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$ を $h$ で微分する。

$V'(h) = \frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2) = \frac{1}{3} \pi h (4R - 3h)$

$V'(h) = 0$ となるのは $h = 0$ または $h = \frac{4}{3}R$ のときである。

$R \le h < 2R$ なので、$h = \frac{4}{3}R$ のみが候補となる。

$V''(h) = \frac{1}{3} \pi (4R - 6h)$

$V''(\frac{4}{3}R) = \frac{1}{3} \pi (4R - 6 \cdot \frac{4}{3}R) = \frac{1}{3} \pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3} \pi R < 0$

よって、$h = \frac{4}{3}R$ で極大値をとる。

$V(\frac{4}{3}R) = \frac{1}{3} \pi (2R(\frac{4}{3}R)^2 - (\frac{4}{3}R)^3) = \frac{1}{3} \pi (2R \cdot \frac{16}{9}R^2 - \frac{64}{27}R^3) = \frac{1}{3} \pi (\frac{32}{9}R^3 - \frac{64}{27}R^3) = \frac{1}{3} \pi (\frac{96 - 64}{27}R^3) = \frac{1}{3} \pi \frac{32}{27}R^3 = \frac{32}{81} \pi R^3$

$h = R$ のとき、

$V(R) = \frac{1}{3} \pi (2R^3 - R^3) = \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{27}{81} \pi R^3$

$h \to 2R$ のとき、

$V(2R) = \frac{1}{3} \pi (2R(2R)^2 - (2R)^3) = \frac{1}{3} \pi (8R^3 - 8R^3) = 0$

したがって、$h = \frac{4}{3}R$ のとき $V$ は最大値 $\frac{32}{81} \pi R^3$ をとる。

3. 最終的な答え

(5) $r = \sqrt{2Rh - h^2}$

(6) $V = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$

(7) $h = \frac{4}{3}R$ のとき、$V$ は最大値 $\frac{32}{81} \pi R^3$ をとる。