周の長さが3である三角形ABCの面積をSとする。 (1) 辺ABの長さが$k$であるときの三角形ABCの面積の最大値$S(k)$を求めよ。ただし、$0 < k < \frac{3}{2}$とする。 (2) Sの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

周の長さが3である三角形ABCの面積をSとする。

(1) 辺ABの長さが$k$であるときの三角形ABCの面積の最大値$S(k)$を求めよ。ただし、$0 < k < \frac{3}{2}$とする。

(2) Sの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺ABの長さを$k$、辺BCの長さを$x$、辺CAの長さを$y$とする。

三角形の周の長さは3なので、$k + x + y = 3$より、$x + y = 3 - k$となる。

ヘロンの公式より、$s = \frac{k+x+y}{2} = \frac{3}{2}$であるから、

$S = \sqrt{s(s-k)(s-x)(s-y)} = \sqrt{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-k)(\frac{3}{2}-x)(\frac{3}{2}-y)}$

$S^2 = \frac{3}{2}(\frac{3}{2}-k)(\frac{3}{2}-x)(\frac{3}{2}-y)$となる。

$x + y = 3 - k$より、$y = 3 - k - x$である。

$\frac{3}{2} - x + \frac{3}{2} - y = 3 - (x+y) = 3 - (3-k) = k$

よって、$(\frac{3}{2} - x)(\frac{3}{2} - y) = (\frac{3}{2} - x)(\frac{3}{2} - (3 - k - x)) = (\frac{3}{2} - x)(x - \frac{3}{2} + k)$

積が最大になるのは、$\frac{3}{2} - x = x - \frac{3}{2} + k$すなわち、$x = \frac{3-k}{2}$のときである。

このとき、$y = 3 - k - x = 3 - k - \frac{3-k}{2} = \frac{3-k}{2}$なので、$x = y = \frac{3-k}{2}$となる。

したがって、$S(k) = \sqrt{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-k)(\frac{k}{2})^2} = \frac{k}{2}\sqrt{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-k)} = \frac{k}{4}\sqrt{6-4k}$

$S(k) = \frac{k}{4} \sqrt{6-4k}$

$S(k)^2 = \frac{k^2}{16}(6-4k) = \frac{1}{16}(6k^2 - 4k^3)$

$f(k) = 6k^2 - 4k^3$とおくと、$f'(k) = 12k - 12k^2 = 12k(1-k)$

$f'(k) = 0$より、$k = 0, 1$

$0 < k < \frac{3}{2}$なので、$k = 1$

$k = 1$のとき、$f(k)$は最大値$6 - 4 = 2$をとる。

$S(1) = \frac{1}{4}\sqrt{6-4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $S(k) = \frac{k}{4} \sqrt{6-4k}$なので、Sの最大値を求める。

$g(k) = S(k)^2 = \frac{k^2(6-4k)}{16} = \frac{-4k^3 + 6k^2}{16} = \frac{-2k^3 + 3k^2}{8}$

$g'(k) = \frac{-6k^2 + 6k}{8} = \frac{-3k^2 + 3k}{4} = \frac{3k(1-k)}{4}$

$g'(k) = 0$より、$k = 0, 1$

$k=1$のとき$g(1) = \frac{-2+3}{8} = \frac{1}{8}$なので、$S(1) = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

ABの長さを固定せずに、周の長さが3である三角形の面積の最大値を考える。

三角形の面積が最大になるのは正三角形のときである。

一辺の長さが1の正三角形の面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}$である。

3. 最終的な答え

(1) $S(k) = \frac{k}{4}\sqrt{6-4k}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{4}$