質量4kgの質点の位置ベクトルが時間 $t$ の関数として $r(t) = (t^2 - 2t) \mathbf{i} + \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$ で与えられている。 1. 速度ベクトル、加速度ベクトル、運動量、運動エネルギー、原点に関する角運動量、および原点から受ける力を求める。

1. 問題の内容

質量4kgの質点の位置ベクトルが時間 $t$ の関数として $r(t) = (t^2 - 2t) \mathbf{i} + \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$ で与えられている。

1. 速度ベクトル、加速度ベクトル、運動量、運動エネルギー、原点に関する角運動量、および原点から受ける力を求める。

2. 時刻 $t=1$ での運動量と力の関係を運動方程式を用いて確認する。

3. 時刻 $t=0$ から $t=2$ までに、原点がこの質点にされた仕事を求める。

2. 解き方の手順

(1) 速度ベクトル、加速度ベクトル、運動量、運動エネルギー、角運動量、力

* 速度ベクトル $v(t)$: 位置ベクトル $r(t)$ を時間 $t$ で微分する。

$v(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (2t - 2) \mathbf{i} - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 加速度ベクトル $a(t)$: 速度ベクトル $v(t)$ を時間 $t$ で微分する。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 2 \mathbf{i} - \frac{\pi^2}{4} \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 運動量 $p(t)$: 質量 $m$ に速度ベクトル $v(t)$ をかける。$m = 4$ kg

$p(t) = m v(t) = 4(2t - 2) \mathbf{i} - 4 \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j} = (8t - 8) \mathbf{i} - 2\pi \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 運動エネルギー $K(t)$: $\frac{1}{2} m |v(t)|^2$ で計算する。

$K(t) = \frac{1}{2} m v(t) \cdot v(t) = \frac{1}{2} \times 4 \times [(2t - 2)^2 + (\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi t}{2}))^2] = 2[(2t - 2)^2 + \frac{\pi^2}{4} \sin^2(\frac{\pi t}{2})]$

* 原点に関する角運動量 $L(t)$: $r(t) \times p(t)$ で計算する。

$L(t) = r(t) \times p(t) = [(t^2 - 2t) \mathbf{i} + \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}] \times [(8t - 8) \mathbf{i} - 2\pi \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}] = [(t^2 - 2t)(-2\pi \sin(\frac{\pi t}{2})) - (8t - 8) \cos(\frac{\pi t}{2})] \mathbf{k} = [-2\pi (t^2 - 2t)\sin(\frac{\pi t}{2}) - (8t - 8)\cos(\frac{\pi t}{2})] \mathbf{k}$

* 力 $F(t)$: 質量 $m$ に加速度ベクトル $a(t)$ をかける。

$F(t) = m a(t) = 4(2 \mathbf{i} - \frac{\pi^2}{4} \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}) = 8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

(2) 時刻 $t=1$ での運動量と力の関係の確認 (運動方程式)

運動方程式は $F(t) = \frac{dp(t)}{dt}$。

時刻 $t=1$ において、

$p(1) = (8(1) - 8) \mathbf{i} - 2\pi \sin(\frac{\pi (1)}{2}) \mathbf{j} = 0 \mathbf{i} - 2\pi \mathbf{j} = -2\pi \mathbf{j}$

$F(1) = 8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi (1)}{2}) \mathbf{j} = 8 \mathbf{i} - 0 \mathbf{j} = 8 \mathbf{i}$

$\frac{dp(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [ (8t - 8) \mathbf{i} - 2\pi \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}] = 8 \mathbf{i} - 2\pi \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j} = 8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

$\frac{dp(1)}{dt} = 8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi}{2}) \mathbf{j} = 8 \mathbf{i}$

したがって、$F(1) = \frac{dp(1)}{dt}$ が成り立つ。

(3) 時刻 $t=0$ から $t=2$ までの仕事

仕事 $W$ は、力 $F(t)$ を位置ベクトル $r(t)$ に沿って積分することで求められる。

$W = \int_{t_1}^{t_2} F(t) \cdot v(t) dt$

$F(t) \cdot v(t) = (8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}) \cdot ((2t - 2) \mathbf{i} - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}) = 8(2t - 2) + \frac{\pi^3}{2} \cos(\frac{\pi t}{2}) \sin(\frac{\pi t}{2}) = 16t - 16 + \frac{\pi^3}{4} \sin(\pi t)$

$W = \int_0^2 [16t - 16 + \frac{\pi^3}{4} \sin(\pi t)] dt = [8t^2 - 16t - \frac{\pi^2}{4} \cos(\pi t)]_0^2 = [8(2^2) - 16(2) - \frac{\pi^2}{4} \cos(2\pi)] - [8(0^2) - 16(0) - \frac{\pi^2}{4} \cos(0)] = [32 - 32 - \frac{\pi^2}{4}] - [0 - 0 - \frac{\pi^2}{4}] = -\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

* 速度ベクトル: $v(t) = (2t - 2) \mathbf{i} - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 加速度ベクトル: $a(t) = 2 \mathbf{i} - \frac{\pi^2}{4} \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 運動量: $p(t) = (8t - 8) \mathbf{i} - 2\pi \sin(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

* 運動エネルギー: $K(t) = 2[(2t - 2)^2 + \frac{\pi^2}{4} \sin^2(\frac{\pi t}{2})]$

* 角運動量: $L(t) = [-2\pi (t^2 - 2t)\sin(\frac{\pi t}{2}) - (8t - 8)\cos(\frac{\pi t}{2})] \mathbf{k}$

* 力: $F(t) = 8 \mathbf{i} - \pi^2 \cos(\frac{\pi t}{2}) \mathbf{j}$

(2) 時刻 $t=1$ での運動方程式 $F(1) = \frac{dp(1)}{dt}$ が成立する。

(3) 仕事: $0$