質量 $m = 0.5$ kg の小球が、位置エネルギー $U(x, y) = 2xy + y^2$ [J] で表されるポテンシャル場に置かれている。以下の問いに答える。 1. 小球に働く力を求める。

1. 問題の内容

質量 $m = 0.5$ kg の小球が、位置エネルギー $U(x, y) = 2xy + y^2$ [J] で表されるポテンシャル場に置かれている。以下の問いに答える。

1. 小球に働く力を求める。

2. 原点 (0, 0) に関して、この力が作るモーメントを求める。

3. 小球を点 (1, 1) から (2, 2) へ動かすとき、力が行う仕事を求める。

4. 運動方程式において保存される力の条件を述べ、この力場が保存力かどうか理由を示す。

2. 解き方の手順

1. 力の計算:

力 $\vec{F}$ はポテンシャルエネルギー $U(x, y)$ の負の勾配として与えられる。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -2y$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -(2x + 2y)$

したがって、力 $\vec{F}$ は次のように表せる。

$\vec{F} = (-2y, -2x - 2y)$

2. モーメントの計算:

モーメント $\vec{\tau}$ は、原点からの位置ベクトル $\vec{r} = (x, y)$ と力 $\vec{F} = (F_x, F_y)$ の外積として与えられる。

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (x, y) \times (-2y, -2x - 2y) = x(-2x - 2y) - y(-2y) = -2x^2 - 2xy + 2y^2$

したがって、モーメント $\vec{\tau}$ は次のように表せる。

$\vec{\tau} = (0,0,-2x^2 - 2xy + 2y^2)$

絶対値は $\tau = -2x^2-2xy+2y^2$

3. 仕事の計算:

力が行う仕事 $W$ は、ポテンシャルエネルギーの変化の負の値として与えられる。

$W = -\Delta U = -(U(2, 2) - U(1, 1))$

$U(1, 1) = 2(1)(1) + (1)^2 = 2 + 1 = 3$

$U(2, 2) = 2(2)(2) + (2)^2 = 8 + 4 = 12$

$W = -(12 - 3) = -9$

4. 保存力の条件:

力場が保存力であるための条件は、力の回転がゼロであること、すなわち $\nabla \times \vec{F} = 0$ が成立することである。もしくは、任意の閉経路に沿って力を積分した結果がゼロになることである。

今回の力場 $\vec{F} = (-2y, -2x - 2y)$ に対して、回転を計算する。

$\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = -2 - (-2) = 0$

今回の力場は保存力である。理由は、ポテンシャルエネルギー $U(x, y)$ が与えられているため、力はポテンシャルの勾配として表され、$\nabla \times \vec{F} = 0$ が成立するからである。

3. 最終的な答え

1. 力: $\vec{F} = (-2y, -2x - 2y)$

2. モーメント: $\tau = -2x^2 - 2xy + 2y^2$

3. 仕事: $W = -9$ J

4. 保存力の条件: $\nabla \times \vec{F} = 0$. この力場は保存力である。理由は、$\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0$ を満たすため。