三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。$AB = 15$cm, $AC = 12$cmのとき、三角形AEGと相似な三角形を、選択肢の中から選びなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3等分する点をD, E、辺ACを4等分する点をF, G, Hとする。線分BHと線分ECの交点をIとする。$AB = 15$cm, $AC = 12$cmのとき、三角形AEGと相似な三角形を、選択肢の中から選びなさい。

2. 解き方の手順

ABは3等分されているので、$AE = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \times 15 = 10$cm。

ACは4等分されているので、$AG = \frac{2}{4}AC = \frac{1}{2} \times 12 = 6$cm。

また、$\angle A$は共通である。

選択肢の三角形について、辺の比を調べる。

ア. $\triangle ABC$について、$AB = 15$cm, $AC = 12$cmなので、$\frac{AE}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$、$\frac{AG}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。辺の比が異なるため、相似ではない。

イ. $\triangle ACE$について、$AE = \frac{2}{3}AB = 10$cm, $AC = 12$cmなので、$\frac{AE}{AE} = 1$、$\frac{AG}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。辺の比が異なるため、相似ではない。

ウ. $\triangle ABH$について、$AB=15$cm, $AH = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4} \times 12 = 9$cmなので、$\frac{AE}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$, $\frac{AG}{AH} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。$\angle A$が共通で、$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AH}$より、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AEG \sim \triangle ABH$である。

3. 最終的な答え

エ. $\triangle ABH$