$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を3等分する点を $D, E$、辺 $AC$ を4等分する点を $F, G, H$ とする。線分 $BH$ と線分 $EC$ の交点を $I$ とする。$AB = 15cm$, $AC = 12cm$, $BH = 12cm$ のとき、$\triangle AEG$ と(1)の三角形の相似比（対応する辺の比）を求める。ただし、$① < ②$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を3等分する点を $D, E$、辺 $AC$ を4等分する点を $F, G, H$ とする。線分 $BH$ と線分 $EC$ の交点を $I$ とする。$AB = 15cm$, $AC = 12cm$, $BH = 12cm$ のとき、$\triangle AEG$ と(1)の三角形の相似比（対応する辺の比）を求める。ただし、$① < ②$ とする。

2. 解き方の手順

問題文にある「(1)の三角形」が不明ですが、問題文の条件から$\triangle ABC$と推測して解答します。

$\triangle AEG$ と $\triangle ABC$ の相似比を求める。

点 $E$ は辺 $AB$ を3等分する点の一つなので、$AE = \frac{2}{3}AB$。

$AB = 15cm$ なので、$AE = \frac{2}{3} \times 15 = 10cm$。

点 $G$ は辺 $AC$ を4等分する点の一つなので、$AG = \frac{2}{4}AC = \frac{1}{2}AC$。

$AC = 12cm$ なので、$AG = \frac{1}{2} \times 12 = 6cm$。

したがって、$AE:AB = 10:15 = 2:3$。

$AG:AC = 6:12 = 1:2$。

$\triangle AEG$ と $\triangle ABC$ において、$\angle A$ は共通なので、

$AE:AB$ と $AG:AC$ の比が等しい場合に $\triangle AEG \sim \triangle ABC$ となります。

しかし、$AE:AB = 2:3$ であり、$AG:AC = 1:2$ なので、$\triangle AEG$ と $\triangle ABC$ は相似ではありません。

$\triangle AEG$の辺の長さを$\triangle ABC$の辺の長さと比較して相似比を考えます。

$AE = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}(15)=10$

$AG = \frac{2}{4}AC = \frac{1}{2}(12) = 6$

$EG$の長さを求めるのは難しいので、相似比を$AE:AB$と$AG:AC$の比で考えます。

$AE:AB = 10:15 = 2:3$

$AG:AC = 6:12 = 1:2$

問題文に「ただし、① < ②とする。」とあるので、$\triangle AEG$と$\triangle ABC$の相似比は、$1:2$ または $2:3$ となります。問題文が不完全であるため、どちらが正解かは判断できません。

3. 最終的な答え

問題文の情報が不足しており、$\triangle AEG$と相似な三角形が特定できないため、正解を求めることができません。

もし(1)の三角形が$\triangle ABC$であると仮定した場合、$\triangle AEG$と$\triangle ABC$の相似比は一意に定まりません。

$AE:AB = 2:3$

$AG:AC = 1:2$

答え: $1:2$ または $2:3$