問題6： (1) 密度が一様な物体を水（密度$\rho_0$）に浮かべたとき、物体の体積$V$の3分の1が水面より下に沈んだ。この物体の密度$\rho$を求めよ。 (2) 力を加えて物体全体を水面より下に沈めたい。必要な力の大きさ$f$を求めよ。 問題7： 水平でなめらかな床上で、ばね定数$k$のばねの一端を固定し、他端に質量$m$の物体をつけて置く。物体に力を加えてばねが$x$伸びた位置で静かに手を離す。ばねが自然の長さになったときの物体の速さ$v$を求めよ。 問題8： 長さ$l$の軽いひもにおもりを付け、他端を点Oに固定する。おもりを点Aまで持ち上げて静かに放すと、最下点Bを通過し、ある高さの点Cで一瞬止まり、再び点Aまで戻り、その運動を繰り返した。$\angle AOB = \theta$のとき、おもりが点Bを通過する瞬間の速さ$v$を求めよ。 問題9： 水平な床と斜面がつながっている。床のAB間はあらいが、他はなめらかである。床の一部分にばね定数$k$のばねをつけ、一端に質量$m$の物体を押しあてて、ばねを自然の長さから$l$だけ縮めた。AB間の物体と床との間の動摩擦係数を$\mu'$とする。ばねを解放した後、物体はAB間を通過した後、図の斜面を上り、最高点Cに達した。Cは床から高さ$h$の位置であった。あらい床AB間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

問題6：

(1) 密度が一様な物体を水（密度$\rho_0$）に浮かべたとき、物体の体積$V$の3分の1が水面より下に沈んだ。この物体の密度$\rho$を求めよ。

(2) 力を加えて物体全体を水面より下に沈めたい。必要な力の大きさ$f$を求めよ。

問題7：

水平でなめらかな床上で、ばね定数$k$のばねの一端を固定し、他端に質量$m$の物体をつけて置く。物体に力を加えてばねが$x$伸びた位置で静かに手を離す。ばねが自然の長さになったときの物体の速さ$v$を求めよ。

問題8：

長さ$l$の軽いひもにおもりを付け、他端を点Oに固定する。おもりを点Aまで持ち上げて静かに放すと、最下点Bを通過し、ある高さの点Cで一瞬止まり、再び点Aまで戻り、その運動を繰り返した。$\angle AOB = \theta$のとき、おもりが点Bを通過する瞬間の速さ$v$を求めよ。

問題9：

水平な床と斜面がつながっている。床のAB間はあらいが、他はなめらかである。床の一部分にばね定数$k$のばねをつけ、一端に質量$m$の物体を押しあてて、ばねを自然の長さから$l$だけ縮めた。AB間の物体と床との間の動摩擦係数を$\mu'$とする。ばねを解放した後、物体はAB間を通過した後、図の斜面を上り、最高点Cに達した。Cは床から高さ$h$の位置であった。あらい床AB間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

問題6：

(1) 物体が浮いているので、浮力と重力が釣り合っている。浮力は、水に沈んだ体積に働く。

浮力 = $\rho_0 \times (V/3) \times g$

重力 = $\rho \times V \times g$

よって、$\rho_0 (V/3) g = \rho V g$

$\rho = \rho_0 / 3$

(2) 物体全体が水面より下に沈むようにするために必要な力は、浮力と重力の差に等しい。

$f = \rho_0 V g - \rho V g = (\rho_0 - \rho) V g = (\rho_0 - \rho_0/3) V g = (2/3) \rho_0 V g$

問題7：

力学的エネルギー保存則を用いる。ばねが最も伸びた状態から自然長になった状態までのエネルギー保存を考える。

最も伸びた状態での力学的エネルギーは、弾性エネルギーのみで$\frac{1}{2} kx^2$。自然長になった状態では運動エネルギーのみで$\frac{1}{2}mv^2$。

よって$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} mv^2$

$v = \sqrt{\frac{k}{m}}x$

問題8：

力学的エネルギー保存則を用いる。点Aを基準としたとき、点Aにおける力学的エネルギーは位置エネルギーのみで、高さは$l(1 - \cos\theta)$。点Bにおける力学的エネルギーは運動エネルギーのみ。

よって$mgl(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$

問題9：

エネルギー保存則を用いる。ばねが縮んだ状態の弾性エネルギーは、あらい床での摩擦による仕事と、高さ$h$まで上がった位置エネルギーに変換される。

ばねが縮んだ状態の弾性エネルギー: $\frac{1}{2}kl^2$

摩擦による仕事: $\mu' m g d$ (d: AB間の距離)

位置エネルギー: $mgh$

よって $\frac{1}{2}kl^2 = \mu' mgd + mgh$

$d = \frac{kl^2}{2\mu'mg} - \frac{h}{\mu'}$

3. 最終的な答え

問題6：

(1) $\rho = \frac{\rho_0}{3}$

(2) $f = \frac{2}{3}\rho_0Vg$

問題7：

$v = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

問題8：

$v = \sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$

問題9：

$d = \frac{kl^2}{2\mu'mg} - \frac{h}{\mu'}$