質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のバネに取り付けられ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $x$ だけ引っ張って静かに離した場合について、以下の問いに答える。 1. 時刻 $t$ における位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のバネに取り付けられ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $x$ だけ引っ張って静かに離した場合について、以下の問いに答える。

1. 時刻 $t$ における位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求めよ。

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和が保存されることを示せ。

3. 運動量と力の関係を運動方程式を用いて示せ。

4. 振動の周期と最大速度を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 位置、速度、加速度の導出

物体は単振動を行うので、位置 $x(t)$ は以下の式で表される。

$x(t) = x \cos(\omega t)$

ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ は角振動数である。初期条件として、$t=0$ で $x(0)=x$ であり、速度は $v(0)=0$ であることを考慮している。

速度 $v(t)$ は位置 $x(t)$ を時間で微分することで得られる。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -x\omega \sin(\omega t)$

加速度 $a(t)$ は速度 $v(t)$ を時間で微分することで得られる。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -x\omega^2 \cos(\omega t) = -\frac{k}{m}x \cos(\omega t) = -\frac{k}{m}x(t)$

2. エネルギー保存則の証明

運動エネルギー $K$ は $\frac{1}{2}mv(t)^2$ であり、弾性エネルギー $U$ は $\frac{1}{2}kx(t)^2$ である。

エネルギーの和 $E$ は

$E = K + U = \frac{1}{2}mv(t)^2 + \frac{1}{2}kx(t)^2 = \frac{1}{2}m(-x\omega \sin(\omega t))^2 + \frac{1}{2}k(x \cos(\omega t))^2$

$E = \frac{1}{2}mx^2\omega^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2}kx^2 \cos^2(\omega t)$

$\omega^2 = \frac{k}{m}$ より、

$E = \frac{1}{2}mx^2 \frac{k}{m} \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2}kx^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}kx^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2}kx^2 \cos^2(\omega t)$

$E = \frac{1}{2}kx^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) = \frac{1}{2}kx^2$

エネルギー $E$ は時間 $t$ に依存しない定数であるため、保存される。

3. 運動方程式の証明

運動方程式は $F = ma$ である。

フックの法則より、バネの力は $F = -kx(t)$ である。

したがって、運動方程式は $-kx(t) = ma(t)$ となる。

1. の結果より、$a(t) = -\frac{k}{m}x(t)$ であるから、

$-kx(t) = m(-\frac{k}{m}x(t)) = -kx(t)$

よって、運動方程式が成り立つ。

4. 周期と最大速度の導出

単振動の周期 $T$ は $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ である。

最大速度 $v_{max}$ は、速度 $v(t)$ の絶対値が最大となる時の値である。

$v(t) = -x\omega \sin(\omega t)$ より、$|\sin(\omega t)| = 1$ のとき $|v(t)|$ は最大となる。

したがって、$v_{max} = x\omega = x\sqrt{\frac{k}{m}}$ である。

3. 最終的な答え

1. 位置: $x(t) = x \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

速度: $v(t) = -x\sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

加速度: $a(t) = -\frac{k}{m}x \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和は $\frac{1}{2}kx^2$ であり、時間的に一定なので保存される。

3. 運動方程式 $F = ma$ より、$-kx(t) = ma(t)$ が成り立つ。

4. 周期: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

最大速度: $v_{max} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$