水平な床と斜面がつながっており、床のAB間はあらい。ばね定数$k$のばねを自然長から$l$だけ縮めて質量$m$の物体を押し当て解放する。物体はAB間を通過し、斜面を上り高さ$h$まで達する。AB間の動摩擦係数$\mu'$、重力加速度$g$を用いて、あらい床AB間の距離を求める。

1. 問題の内容

水平な床と斜面がつながっており、床のAB間はあらい。ばね定数$k$のばねを自然長から$l$だけ縮めて質量$m$の物体を押し当て解放する。物体はAB間を通過し、斜面を上り高さ$h$まで達する。AB間の動摩擦係数$\mu'$、重力加速度$g$を用いて、あらい床AB間の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) ばねの弾性エネルギーを求める。

ばねが縮められたことによる弾性エネルギー$U$は、

$U = \frac{1}{2} k l^2$

である。

(2) AB間で摩擦力がする仕事を求める。

AB間の距離を$x$とする。動摩擦力$f$は、

$f = \mu' mg$

である。この動摩擦力がする仕事$W$は、

$W = -f x = -\mu' mgx$

となる。

(3) エネルギー保存則を適用する。

点Aを基準としたとき、点Cにおける位置エネルギーは$mgh$である。エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2} k l^2 - \mu' mg x = mgh$

(4) 上記の式から、$x$を求める。

$\frac{1}{2} k l^2 - mgh = \mu' mgx$

$x = \frac{\frac{1}{2} k l^2 - mgh}{\mu' mg} = \frac{kl^2}{2\mu'mg} - \frac{h}{\mu'}$

3. 最終的な答え

あらい床AB間の距離は、

$x = \frac{kl^2}{2\mu'mg} - \frac{h}{\mu'}$

である。