質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のバネにつながれ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $x$ だけ引き伸ばし、静かに離した。 1. 時刻 $t$ における物体の位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のバネにつながれ、滑らかな水平面上に置かれている。物体を自然長から $x$ だけ引き伸ばし、静かに離した。

1. 時刻 $t$ における物体の位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求める。

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和が保存されることを示す。

3. 運動量と力の関係を運動方程式を用いて示す。

4. 振動の周期と最大速度を求める。

2. 解き方の手順

1. 位置、速度、加速度の導出

* 運動方程式を立てる：$m a(t) = -k x(t)$

* $a(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2}$ より、微分方程式は $m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + k x(t) = 0$ となる。

* $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ と置くと、$\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0$

* この微分方程式の一般解は $x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ である。

* 初期条件：$x(0) = x$ および $v(0) = 0$ より、$A = x$ および $B = 0$ となる。

* したがって、$x(t) = x \cos(\omega t)$

* 速度 $v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -x\omega \sin(\omega t)$

* 加速度 $a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -x\omega^2 \cos(\omega t) = -\frac{kx}{m} \cos(\omega t) = -\omega^2 x(t)$

2. エネルギー保存則の証明

* 運動エネルギー $K(t) = \frac{1}{2} m v(t)^2 = \frac{1}{2} m x^2 \omega^2 \sin^2(\omega t)$

* 弾性エネルギー $U(t) = \frac{1}{2} k x(t)^2 = \frac{1}{2} k x^2 \cos^2(\omega t)$

* 全エネルギー $E = K(t) + U(t) = \frac{1}{2} m x^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2} k x^2 \cos^2(\omega t)$

* $\omega^2 = \frac{k}{m}$ より、$E = \frac{1}{2} k x^2 \sin^2(\omega t) + \frac{1}{2} k x^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2} k x^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k x^2$

* $E$ は時間 $t$ に依存しないため、運動エネルギーと弾性エネルギーの和は保存される。

3. 運動方程式による運動量と力の関係

* 運動方程式は $F = m a$ である。

* $a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$ より、$F = m \frac{dv(t)}{dt}$

* 運動量 $p = mv$ より、$F = \frac{dp}{dt}$

* これは、力が運動量の時間変化率に等しいことを意味する。

* この場合、力はばねによる復元力 $F = -kx(t)$ であり、 $F = -\frac{d}{dt}(mv(t)) = -\frac{d}{dt}(-mx\omega\sin(\omega t))$と表せる。

4. 周期と最大速度の導出

* 周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

* 最大速度 $v_{max}$ は $|v(t)|$ の最大値である。

* $v(t) = -x\omega \sin(\omega t)$ より、$v_{max} = x\omega = x \sqrt{\frac{k}{m}}$

3. 最終的な答え

1. 位置：$x(t) = x \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

速度：$v(t) = -x\sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

加速度：$a(t) = -\frac{kx}{m} \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} t)$

2. 運動エネルギーと弾性エネルギーの和は $\frac{1}{2} k x^2$ であり、保存される。

3. 力 $F$ は運動量の時間変化率に等しく、$F = \frac{dp}{dt}$。

4. 周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

最大速度：$v_{max} = x \sqrt{\frac{k}{m}}$