二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 10$ の頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 10$ の頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成の形に変形する。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形することで、頂点の座標 $(p, q)$ がわかる。

まず、$x^2$ の係数 $-3$ で $x$ の項までをくくり出す。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 10$

次に、括弧の中を平方完成させる。

$x^2 + \frac{4}{3}x = (x + \frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}$

これを元の式に代入する。

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 10$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 10$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + \frac{30}{3}$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{34}{3}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{34}{3})$ となる。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{34}{3})$ である。