与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 7 \\ -4 & 1 & 3 \\ 9 & -1 & -7 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ があるとき、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 7 \\ -4 & 1 & 3 \\ 9 & -1 & -7 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ があるとき、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $X$ を求めるために、$AX = B$ を解きます。$A$ が正方行列でないため、$A$ の逆行列を直接求めることはできません。しかし、$X$ の各列ベクトルを個別に求めることができます。

$X$ の列ベクトルを $x_1, x_2, x_3$ とし、$B$ の列ベクトルを $b_1, b_2, b_3$ とします。すると、$Ax_1 = b_1$, $Ax_2 = b_2$, $Ax_3 = b_3$ となります。これらの連立一次方程式をそれぞれ解けば、$x_1, x_2, x_3$ が求まり、行列 $X = (x_1, x_2, x_3)$ が決定します。

すなわち、

$x_1 = \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{pmatrix}$,

$x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{pmatrix}$,

$x_3 = \begin{pmatrix} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{pmatrix}$

とおくと、それぞれの方程式は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$

となります。

これらの連立一次方程式を解くためには、拡大行列を作成し、行基本変形を用いて解を求めます。しかし、4x3の行列のため、擬似逆行列(Moore-Penrose逆行列)を利用するのが良いでしょう。

$A^+ = (A^T A)^{-1} A^T$ を計算します。

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

$A^T A = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -5 \\ 4 & 17 & 4 \\ -5 & 4 & 12 \end{pmatrix}$

$(A^T A)^{-1} = \frac{1}{487} \begin{pmatrix} 188 & -68 & -153 \\ -68 & 47 & 56 \\ -153 & 56 & 86 \end{pmatrix}$

$A^+ = (A^T A)^{-1} A^T = \frac{1}{487} \begin{pmatrix} 188 & -68 & -153 \\ -68 & 47 & 56 \\ -153 & 56 & 86 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{487} \begin{pmatrix} 433 & 359 & -829 & 153 \\ -160 & -121 & 476 & -56 \\ 101 & -67 & 614 & -86 \end{pmatrix}$

$X = A^+ B$ を計算します。

$X = \frac{1}{487} \begin{pmatrix} 433 & 359 & -829 & 153 \\ -160 & -121 & 476 & -56 \\ 101 & -67 & 614 & -86 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -8 & 5 & 7 \\ -4 & 1 & 3 \\ 9 & -1 & -7 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{487} \begin{pmatrix} -14610 & 3371 & 14610 \\ 4870 & -2435 & -4870 \\ 4870 & -2435 & -4870 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 & 7 & 30 \\ 10 & -5 & -10 \\ 10 & -5 & -10 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} -30 & 7 & 30 \\ 10 & -5 & -10 \\ 10 & -5 & -10 \end{pmatrix}$