以下の3つの2次関数の軸と頂点をそれぞれ求める問題です。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 5$ (2) $y = -3x^2 - 4x + 10$ (3) $y = x^2 - 5$

1. 問題の内容

以下の3つの2次関数の軸と頂点をそれぞれ求める問題です。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

(2) $y = -3x^2 - 4x + 10$

(3) $y = x^2 - 5$

2. 解き方の手順

2次関数を平方完成の形に変形することで、軸と頂点を求めます。一般に、2次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ の軸は $x = p$ で、頂点は $(p, q)$ です。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

まず、$x^2$ の係数2で括ります。

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ なので、

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

したがって、軸は $x = 1$、頂点は $(1, 3)$ です。

(2) $y = -3x^2 - 4x + 10$

まず、$x^2$ の係数-3で括ります。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 10$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + \frac{4}{3}x = (x + \frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}$ なので、

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 10$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 10$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + \frac{30}{3}$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{34}{3}$

したがって、軸は $x = -\frac{2}{3}$、頂点は $(-\frac{2}{3}, \frac{34}{3})$ です。

(3) $y = x^2 - 5$

これはすでに平方完成された形とみなせます。$y = (x - 0)^2 - 5$ と考えると、

軸は $x = 0$、頂点は $(0, -5)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 3)$

(2) 軸: $x = -\frac{2}{3}$, 頂点: $(-\frac{2}{3}, \frac{34}{3})$

(3) 軸: $x = 0$, 頂点: $(0, -5)$