SENSEI AI
About App

与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 0 & 1 & -2 \\ -5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 5 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

代数学行列式線形代数余因子展開
2025/7/18

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 0 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
-5 & 5 & -2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行や列に関する操作を行います。
まず、1列目と2列目に注目します。1行目の2倍を2行目に足すと、(2,1)成分が0になります。
ただし、行列式は変わりません。
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 0 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
-5 & 5 & -2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
次に、この行列の行列式を計算するため、3列目に関して展開します。すると、
det=0∗C13+0∗C23+0∗C33+1∗C43+(−2)∗C53det = 0 * C_{13} + 0 * C_{23} + 0 * C_{33} + 1 * C_{43} + (-2) * C_{53}
= C43−2∗C53C_{43} -2 * C_{53}
ここで、CijC_{ij}は(i,j)要素の余因子を表します。
別の方法として、3列目に沿って余因子展開を行うと、
$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 0 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
-5 & 5 & -2 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= 0 * C_{13} + 0 * C_{23} + 0 * C_{33} + 1 * C_{43} + (-2) * C_{53}
= \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 0 & 0
\end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 0 & 0
\end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 0 & 0
\end{vmatrix}
=3 \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 1 & -2 \\
-5 & 5 & 0 & 0
\end{vmatrix}$
さらに、3行目の1に関して余因子展開します。
=3(1∗∣210−2−20−550∣−2∗∣210−2−20−550∣)=3∗∣210−2−20−550∣=3 ( 1 * \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ -5 & 5 & 0 \end{vmatrix} -2 * \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ -5 & 5 & 0 \end{vmatrix} )=3 * \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ -5 & 5 & 0 \end{vmatrix}
=3∗∣21−2−2∣∗∣1∣=3(2∗(−2)−1∗(−2))=3∗(−4+2)=−6∗0=−6=3 *\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}=3(2*(-2)-1*(-2)) = 3*(-4+2)=-6 * 0 = -6
2∗(−2)−1∗(−2)=−4+2=−22*(-2)-1*(-2) = -4+2 = -2. したがって, 3 * (-2) = -
6.
∣21−2−2∣=(2)(−2)−(1)(−2)=−4+2=−2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (1)(-2) = -4 + 2 = -2.
3行目の第3成分に沿って余因子展開すると、行列式は次のようになります。
$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-2 & -2 & 0 \\
-5 & 5 & 0
\end{vmatrix} = 0$,
∣2100−2−200481−2−5500∣=1∗∣210−2−20−550∣−2∗0=0\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 1 & -2 \\ -5 & 5 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1*\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ -5 & 5 & 0 \end{vmatrix} -2 *0 = 0
detA=2∗(−2)−1∗(−2)=−4+2=−2det A = 2*(-2) - 1*(-2) = -4 + 2 = -2
∣21−2−2∣=−2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -2.
行列式は −2-2

3. 最終的な答え

-2

「代数学」の関連問題

与えられた式 $(12x+9y) \div \frac{3}{4}$ を計算し、簡略化せよ。

式の計算分配法則文字式
2025/7/19

$k$を定数とする。座標平面上の直線 $(3k+1)x - (2k+4)y - 10k + 10 = 0$ が、$k$の値に関わらず通る定点の座標を求めよ。

直線定点連立方程式
2025/7/19

与えられた式 $(24a - 20b + 8) \div 4$ を計算し、簡略化せよ。

式の簡略化多項式分配法則
2025/7/19

関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、与えられたそれぞれの定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の6つです。 (i) すべての数 (ii) $-1 \le x \l...

二次関数最大値最小値定義域平方完成
2025/7/19

定数 $a$ が与えられたとき、定義域 $0 \le x \le 6$ における関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最大値を求めよ。

二次関数最大値平方完成場合分け
2025/7/19

与えられた式 $ (-9a + 15b) \times (-\frac{2}{3}) $ を計算して簡単にします。

式の計算分配法則一次式
2025/7/19

次の計算をしなさい。 $6(-2x+3y-5)$

一次式分配法則計算
2025/7/19

$a$ を定数とする。定義域が $0 \le x \le 6$ である関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

二次関数最大最小場合分け平方完成
2025/7/19

問題は全部で7問あります。 1. (24a-20b+8) ÷ 4

式の計算展開通分分数式
2025/7/19

(1) 次の連立不等式を解け。 $x^2 + 2x - 24 \le 0$ $x^2 - 4x - 1 > 0$ (2) 次の条件を満たす実数の定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 すべての実数 $x$...

不等式二次不等式連立不等式判別式二次関数
2025/7/19