与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を用います。1行目の0の多いことを利用して展開すると計算が楽になります。

まず、1行目で余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

次に、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

一つ目の3x3行列について:

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$

$= -1(0-3) - 2(0-2) -1(-3-(-2)) = 3+4-(-1)(-1) = 3+4+1 = 8$

二つ目の3x3行列について:

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0\cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$

$= 0 - 2(3-(-2)) + 0 = -2(5) = -10$

したがって、元の行列の行列式は次のようになります。

$3 \cdot 8 + 1 \cdot (-10) = 24 - 10 = 14$

3. 最終的な答え

14