与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。ヒントとして、(1,1)成分で第1行を掃き出すように指示されています。 行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & -5 & -3 & -2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。ヒントとして、(1,1)成分で第1行を掃き出すように指示されています。 行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 1 & 2 \\

-1 & 0 & 1 & 2 \\

-1 & 0 & 3 & 2 \\

2 & -5 & -3 & -2

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

ヒントに従い、(1,1)成分を使って第1行を掃き出すことを目指します。具体的には、第2行、第3行、第4行から、第1行の定数倍を引くことで、第1列の(2,1)成分、(3,1)成分、(4,1)成分を0にします。

* **第2行を第2行 - 第1行とすることで、(2,1)成分を0にする:**

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 3 & 2 \\

2 & -5 & -3 & -2

\end{vmatrix}$

* **第3行を第3行 - 第1行とすることで、(3,1)成分を0にする:**

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & 0 & 0 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

2 & -5 & -3 & -2

\end{vmatrix}$

* **第4行を第4行 + 2 \* 第1行とすることで、(4,1)成分を0にする:**

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & 0 & 0 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

0 & -1 & -1 & 2

\end{vmatrix}$

次に、第1列に沿って余因子展開を行うと、次のようになります。

$(-1) * \begin{vmatrix}

-2 & 0 & 0 \\

-2 & 2 & 0 \\

-1 & -1 & 2

\end{vmatrix}$

残った3x3行列は下三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。

$(-1) * ((-2) * 2 * 2) = (-1) * (-8) = 8$

3. 最終的な答え

8