与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列の行列式を計算するには、いくつかの方法があります。

ここでは、余因子展開を利用します。

1行目で余因子展開を行うと、以下のようになります。

$det(A) = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} = C_{14}$

ここで、$C_{14}$は(1,4)成分の余因子です。

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14}$であり、$M_{14}$は(1,4)成分を除いた3x3小行列の行列式です。

$M_{14} = det \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。1行目で余因子展開を行うと、

$M_{14} = 0 \cdot C'_{11} + 0 \cdot C'_{12} + 1 \cdot C'_{13} = C'_{13}$

$C'_{13} = (-1)^{1+3} M'_{13}$ であり、$M'_{13}$ は(1,3)成分を除いた2x2小行列の行列式です。

$M'_{13} = det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = (0 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1$

したがって、$C'_{13} = (-1)^{1+3} (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$

よって、$M_{14} = -1$ となります。

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = (-1)^5 (-1) = (-1) (-1) = 1$

したがって、$det(A) = 1$

別の解法として、この行列は単位行列の行を入れ替えたものであることに着目します。具体的には、単位行列の1行目を4行目、2行目を3行目、3行目を2行目、4行目を1行目にすることで得られます。

これは3回の行の入れ替えに対応します。

行列式の性質として、2つの行を入れ替えると行列式の符号が反転します。

したがって、この行列の行列式は $(-1)^3 \times det(I) = -1 \times 1 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

-1