与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

-2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2 & 0

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列の行列式を計算するために、余因子展開を利用します。

1行目に注目すると、0でない要素は4列目の2だけです。したがって、1行目を基準に余因子展開を行うと、

$\det(A) = 2 \cdot (-1)^{1+4} \cdot \det(A_{14})$

ここで、$A_{14}$は元の行列から1行目と4列目を取り除いた3x3行列です。

$A_{14} = \begin{pmatrix}

0 & -1 & 0 \\

-2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2

\end{pmatrix}$

次に、$A_{14}$の行列式を計算します。これは対角成分に-2があるため、3行目を基準に展開します。

$\det(A_{14}) = -2 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

$\det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = (0 \times 0) - (-1 \times -2) = 0 - 2 = -2$

よって、

$\det(A_{14}) = -2 \times 1 \times (-2) = 4$

したがって、元の行列の行列式は

$\det(A) = 2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$

3. 最終的な答え

-8