与えられた複素数の式 $ (\frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2})^3 $ を計算し、その結果を求める問題です。ここで、$j$ は虚数単位を表します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $(\frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2})^3$ を計算し、その結果を求める問題です。ここで、$j$ は虚数単位を表します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式に変換します。

次に、割り算を行い、その結果を極形式で求めます。

最後に、ド・モアブルの定理を用いて3乗を計算します。

ステップ1: 分子の極形式への変換

分子は $-\sqrt{3} + j$ です。絶対値 $r_1$ は $r_1 = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ となります。

偏角 $\theta_1$ は $\tan(\theta_1) = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たし、第2象限にあるので、 $\theta_1 = \frac{5\pi}{6}$ です。

したがって、$-\sqrt{3} + j = 2e^{j\frac{5\pi}{6}}$ となります。

ステップ2: 分母の極形式への変換

分母は $2 - j2$ です。絶対値 $r_2$ は $r_2 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となります。

偏角 $\theta_2$ は $\tan(\theta_2) = \frac{-2}{2} = -1$ を満たし、第4象限にあるので、 $\theta_2 = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$2 - j2 = 2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}$ となります。

ステップ3: 割り算

$\frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2} = \frac{2e^{j\frac{5\pi}{6}}}{2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j(\frac{10\pi + 3\pi}{12})} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}}$ となります。

ステップ4: 3乗

$(\frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 e^{j\frac{13\pi}{12} \cdot 3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j(\frac{13\pi}{4} - 2\pi - \pi)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{\pi}{4}}$ となります。

ステップ5: 直交形式への変換

$\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{4}) + j\sin(\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{4} + j\frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}j$