3つの問題があります。 (1) 点Pを直線 $y=x$ に関して線対称な点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。 (2) 点Pを原点に関して点対称な点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。 (3) 点Pのx座標を2倍、y座標を3倍した点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) 点Pを直線 $y=x$ に関して線対称な点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。

(2) 点Pを原点に関して点対称な点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。

(3) 点Pのx座標を2倍、y座標を3倍した点P'に移す変換が線形変換であるかどうか。

2. 解き方の手順

線形変換であるかどうかは、以下の2つの条件を満たすかどうかで判断します。

(1) $T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$

(2) $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ (cはスカラー)

(1) 点Pを(x, y)とすると、直線 $y=x$ に関して線対称な点P'は(y, x)です。この変換をTとすると、

$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となり、行列で表現できるため、線形変換です。

(2) 点Pを(x, y)とすると、原点に関して点対称な点P'は(-x, -y)です。この変換をTとすると、

$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となり、行列で表現できるため、線形変換です。

(3) 点Pを(x, y)とすると、x座標を2倍、y座標を3倍した点P'は(2x, 3y)です。この変換をTとすると、

$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となり、行列で表現できるため、線形変換です。

3. 最終的な答え

ア：ある

イ：ある

ウ：ある