正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ があり、$A = (0, p_1, p_2, -2p_1 + p_2)$ および $b = 3p_1 - 2p_2$ とする。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、提示された形式が正しいかどうかを判定する。具体的には、パラメータ表示における定数ベクトルを求める。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ があり、$A = (0, p_1, p_2, -2p_1 + p_2)$ および $b = 3p_1 - 2p_2$ とする。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、提示された形式が正しいかどうかを判定する。具体的には、パラメータ表示における定数ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$Ax = b$ を $x$ を用いて書き下す。$A$ の列ベクトルを $a_1, a_2, a_3, a_4$ とすると、$a_1 = 0, a_2 = p_1, a_3 = p_2, a_4 = -2p_1 + p_2$ である。$x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$ とすると、

$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = x_1 \cdot 0 + x_2 p_1 + x_3 p_2 + x_4(-2p_1 + p_2) = (x_2 - 2x_4)p_1 + (x_3 + x_4)p_2$

となる。

$Ax = b = 3p_1 - 2p_2$ より、

$(x_2 - 2x_4)p_1 + (x_3 + x_4)p_2 = 3p_1 - 2p_2$

$p_1$ と $p_2$ は線形独立なので、

$x_2 - 2x_4 = 3$

$x_3 + x_4 = -2$

が成り立つ。

$x_2 = 3 + 2x_4$ および $x_3 = -2 - x_4$ となる。$x_1$ と $x_4$ は任意の値をとれる。

解ベクトル $x$ は

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 3 + 2x_4 \\ -2 - x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

ここで、$x_1 = p$、$x_4 = q$ とすると、

$x = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}p + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}q + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

パラメータ表示されている解は、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} p + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} q + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

なので、定数ベクトル部分が異なります。

連立一次方程式$Ax = b$の解は

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表せるので、与えられた解のパラメータ表示は正しくありません。ただし、問題で提示された形式に合わせるためには、

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} p + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} q + c$

となる定数ベクトル$c$を求める必要があります。上の計算から、$p$と$q$の係数は一致している必要があるため、$c$は$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$になるべきです。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$