ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、以下の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。 (1) $2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y + 1)\vec{b}$ (2) $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、以下の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。

(1) $2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y + 1)\vec{b}$

(2) $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立なので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数がそれぞれ等しくなる必要があります。

$2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y + 1)\vec{b}$ より、

$2x = 8$

$-5 = 3y + 1$

これらの連立方程式を解きます。

$2x = 8$ より $x = 4$

$-5 = 3y + 1$ より $3y = -6$ となり $y = -2$

(2)

$x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$ を展開して整理します。

$x\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{a} - y\vec{b} = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$(x+y)\vec{a} + (x-y)\vec{b} = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立なので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数がそれぞれ等しくなる必要があります。

$x+y = 4y$

$x-y = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$x+y = 4y$ より $x = 3y$

$x-y = 1$ に $x = 3y$ を代入すると $3y - y = 1$ となり、$2y = 1$ よって $y = \frac{1}{2}$

$x = 3y$ より $x = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 4$

$y = -2$

(2)

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{1}{2}$