$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。$A = (p_1 \ p_2 \ p_1 - p_2 \ p_3)$ であり、$b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうかを判断する問題です。与えられたパラメータ表示は $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad p \in \mathbb{R}$ の形をしています。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。$A = (p_1 \ p_2 \ p_1 - p_2 \ p_3)$ であり、$b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうかを判断する問題です。与えられたパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad p \in \mathbb{R}$

の形をしています。

2. 解き方の手順

まず、$Ax = b$ を $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とおくと、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (p_1 - p_2) + x_4 p_3 = b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$

となります。

整理すると

$(x_1 + x_3) p_1 + (x_2 - x_3) p_2 + x_4 p_3 = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$

となります。

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、

$x_1 + x_3 = 3$

$x_2 - x_3 = 2$

$x_4 = 2$

となります。

$x_3$ をパラメータ $p$ とすると、$x_3 = p$ とおけます。

$x_1 = 3 - p$

$x_2 = 2 + p$

$x_4 = 2$

となります。

したがって、解は

$x = \begin{pmatrix} 3 - p \\ 2 + p \\ p \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

与えられたパラメータ表示

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

は正しくありません。正しいパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

です。

与えられた解は誤りです。

```

誤り

```