与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $ の固有値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求める問題です。

2. 解き方の手順

固有値を求めるには、まず固有方程式を立てます。固有方程式は、行列 $A$ に対して、$\det(A - \lambda I) = 0$ を満たす $\lambda$ を求めることで得られます。ここで、$A$ は与えられた行列、$\lambda$ は固有値、$I$ は単位行列です。

この問題の場合、行列 $A$ は $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ なので、$A - \lambda I$ は $\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}$ となります。

固有方程式は次のようになります。

$\det \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)^2 - 1 = 0$

これを展開して整理します。

$16 - 8\lambda + \lambda^2 - 1 = 0$

$\lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると

$(\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 3$ と $\lambda = 5$ です。

3. 最終的な答え

固有値は3と5です。