A=(p1,2p1,p2,p3,2p1+p2+2p3) に対して、 x=x1x2x3x4x5 とすると、 Ax=x1p1+x2(2p1)+x3p2+x4p3+x5(2p1+p2+2p3)=b=−3p1+3p2−p3 整理すると、
(x1+2x2+2x5)p1+(x3+x5)p2+(x4+2x5)p3=−3p1+3p2−p3 p1,p2,p3 は線形独立なので、 x1+2x2+2x5=−3 x3+x5=3 x4+2x5=−1 ここで、提示されている解のパラメータ表示は、
x=2−3−2−42+p0−2−242+q2−32−42 なので、
x1=2+2q x2=−3−2p−3q x3=−2−2p+2q x4=−4+4p−4q x5=2+2p+2q 上記の連立方程式に代入すると、
(2+2q)+2(−3−2p−3q)+2(2+2p+2q)=−3 2+2q−6−4p−6q+4+4p+4q=−3 0=−3 となり、このままでは成り立ちません。 提示されたパラメータ表示が間違っているか、問題文に誤りがある可能性があります。しかし、最も可能性が高いのは、提示されたパラメータ表示の係数が誤っていることです。
Ax=0の解をまず求めてみましょう。 x1+2x2+2x5=0 x3+x5=0 x4+2x5=0 これから、x1=−2x2−2x5, x3=−x5, x4=−2x5. x=−2x2−2x5x2−x5−2x5x5=x2−21000+x5−20−1−21 次に、Ax=b を満たす特殊解を求めます。x2=0, x5=0の場合、x1=−3, x3=3, x4=−1. x=−303−10 よって、一般解は、
x=−303−10+p−21000+q−20−1−21