$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, 2p_1 + p_2 + 2p_3)$ $b = -3p_1 + 3p_2 - p_3$ のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める問題。提示されているパラメータ表示の係数を求める必要があります。

代数学線形代数連立一次方程式行列パラメータ表示線形独立
2025/7/18
はい、承知いたしました。問題を解いてみましょう。

1. 問題の内容

P=(p1,p2,p3,p4)P = (p_1, p_2, p_3, p_4) は正則行列である。
A=(p1,2p1,p2,p3,2p1+p2+2p3)A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, 2p_1 + p_2 + 2p_3)
b=3p1+3p2p3b = -3p_1 + 3p_2 - p_3
のとき、連立一次方程式 Ax=bAx = b の解のパラメータ表示を求める問題。提示されているパラメータ表示の係数を求める必要があります。

2. 解き方の手順

A=(p1,2p1,p2,p3,2p1+p2+2p3)A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, 2p_1 + p_2 + 2p_3) に対して、
x=(x1x2x3x4x5)x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} とすると、
Ax=x1p1+x2(2p1)+x3p2+x4p3+x5(2p1+p2+2p3)=b=3p1+3p2p3Ax = x_1 p_1 + x_2 (2p_1) + x_3 p_2 + x_4 p_3 + x_5 (2p_1 + p_2 + 2p_3) = b = -3p_1 + 3p_2 - p_3
整理すると、
(x1+2x2+2x5)p1+(x3+x5)p2+(x4+2x5)p3=3p1+3p2p3(x_1 + 2x_2 + 2x_5)p_1 + (x_3 + x_5)p_2 + (x_4 + 2x_5)p_3 = -3p_1 + 3p_2 - p_3
p1,p2,p3p_1, p_2, p_3 は線形独立なので、
x1+2x2+2x5=3x_1 + 2x_2 + 2x_5 = -3
x3+x5=3x_3 + x_5 = 3
x4+2x5=1x_4 + 2x_5 = -1
ここで、提示されている解のパラメータ表示は、
x=(23242)+p(02242)+q(23242)x = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}
なので、
x1=2+2qx_1 = 2 + 2q
x2=32p3qx_2 = -3 - 2p - 3q
x3=22p+2qx_3 = -2 - 2p + 2q
x4=4+4p4qx_4 = -4 + 4p - 4q
x5=2+2p+2qx_5 = 2 + 2p + 2q
上記の連立方程式に代入すると、
(2+2q)+2(32p3q)+2(2+2p+2q)=3(2 + 2q) + 2(-3 - 2p - 3q) + 2(2 + 2p + 2q) = -3
2+2q64p6q+4+4p+4q=32 + 2q - 6 - 4p - 6q + 4 + 4p + 4q = -3
0=30 = -3 となり、このままでは成り立ちません。
提示されたパラメータ表示が間違っているか、問題文に誤りがある可能性があります。しかし、最も可能性が高いのは、提示されたパラメータ表示の係数が誤っていることです。
Ax=0Ax=0の解をまず求めてみましょう。
x1+2x2+2x5=0x_1 + 2x_2 + 2x_5 = 0
x3+x5=0x_3 + x_5 = 0
x4+2x5=0x_4 + 2x_5 = 0
これから、x1=2x22x5x_1 = -2x_2 -2x_5, x3=x5x_3 = -x_5, x4=2x5x_4 = -2x_5.
x=(2x22x5x2x52x5x5)=x2(21000)+x5(20121)x = \begin{pmatrix} -2x_2 -2x_5 \\ x_2 \\ -x_5 \\ -2x_5 \\ x_5 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_5 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
次に、Ax=bAx = b を満たす特殊解を求めます。x2=0x_2=0, x5=0x_5=0の場合、x1=3x_1 = -3, x3=3x_3 = 3, x4=1x_4 = -1.
x=(30310)x = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
よって、一般解は、
x=(30310)+p(21000)+q(20121)x = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

残念ながら、与えられた選択肢から正しい答えを選ぶことができません。上記の計算から、正解はおそらく
(30310)\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}です。

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