与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ を求めるには、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

特性方程式は次のようになります。

$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(4-\lambda) - (1)(1) = 0$

これを展開して整理します。

$(4-\lambda)^2 - 1 = 0$

$16 - 8\lambda + \lambda^2 - 1 = 0$

$\lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解を利用すると、

$(\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = 5$ です。

3. 最終的な答え

固有値は 3 と 5 です。