与えられた行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $\begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix}$ であるとき、$x$ を求めよ。ここで$\lambda$は問題文中の「シ」に該当し、$x$は「セ」に該当する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $\begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix}$ であるとき、$x$ を求めよ。ここで$\lambda$は問題文中の「シ」に該当し、$x$は「セ」に該当する。

2. 解き方の手順

固有値と固有ベクトルは、以下の式を満たす。

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

ここで、$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix}$ である。

まず、$A\mathbf{v}$ を計算する。

$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + x \\ -1 + 4x \end{pmatrix}$

次に、$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ より、以下の式が成り立つ。

$\begin{pmatrix} -4 + x \\ -1 + 4x \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda \\ \lambda x \end{pmatrix}$

この式から、以下の2つの等式が得られる。

$-4 + x = -\lambda$

$-1 + 4x = \lambda x$

一つ目の式から $\lambda = 4 - x$ が得られる。これを二つ目の式に代入する。

$-1 + 4x = (4-x)x$

$-1 + 4x = 4x - x^2$

$x^2 - 1 = 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = -1$ である。

ここで、$x = -1$ とすると、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$となる。この場合、$\lambda = 4 - (-1) = 5$となる。

実際に計算すると、$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$となり、これは固有ベクトルである。

$x = 1$ とすると、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$となる。この場合、$\lambda = 4 - 1 = 3$となる。

実際に計算すると、$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$となり、これは固有ベクトルである。

問題文には固有値が指定されていないので、x = 1, x = -1 の両方が正答になる。

固有値が示されていないため、$\begin{pmatrix} -1 \\ x \end{pmatrix}$が与えられていることから、固有値３に対応する固有ベクトルを求めていると仮定すると、$x = 1$となる。

3. 最終的な答え

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