不定積分 $\int (3x+1)(x-3) dx = x^3 + ax^2 - 3x + C$ を満たす定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (3x+1)(x-3) dx = x^3 + ax^2 - 3x + C$ を満たす定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中身を展開します。

$(3x+1)(x-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3$

次に、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 - 8x - 3) dx = \int 3x^2 dx - \int 8x dx - \int 3 dx$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int 8x dx = 8 \int x dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2$

$\int 3 dx = 3x$

したがって、

$\int (3x^2 - 8x - 3) dx = x^3 - 4x^2 - 3x + C$

与えられた式 $\int (3x+1)(x-3) dx = x^3 + ax^2 - 3x + C$ と比較すると、

$x^3 + ax^2 - 3x + C = x^3 - 4x^2 - 3x + C$

よって、$a = -4$

3. 最終的な答え

-4