$\int \sqrt{x} dx = ax\sqrt{x} + C$ を満たす $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{x} dx = ax\sqrt{x} + C$ を満たす $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の積分を計算します。

$\sqrt{x}$ は $x^{\frac{1}{2}}$ と書けるので、

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx$

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて、

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

一方、$x^{\frac{3}{2}} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x \sqrt{x}$ なので、

$\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$

与えられた式 $\int \sqrt{x} dx = ax\sqrt{x} + C$ と比較すると、$a = \frac{2}{3}$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

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