$xy$平面上の直線 $kx + (2-7k)y = 2-6k$ が、定数 $k$ の値によらず、ある1点を通る。この点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上の直線 $kx + (2-7k)y = 2-6k$ が、定数 $k$ の値によらず、ある1点を通る。この点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、与えられた直線の方程式が、ある特定の点 $(x, y)$ を $k$ の値に関わらず常に通るというものです。言い換えれば、$k$ についての恒等式とみなすことができます。

与えられた方程式を $k$ について整理します。

$kx + (2-7k)y = 2 - 6k$

$kx + 2y - 7ky = 2 - 6k$

$kx - 7ky + 6k = 2 - 2y$

$k(x - 7y + 6) = 2 - 2y$

この式が任意の $k$ に対して成り立つためには、$k$ の係数と定数項がそれぞれ0でなければなりません。したがって、以下の2つの式が得られます。

$x - 7y + 6 = 0$

$2 - 2y = 0$

2つ目の式から $y$ の値を求めます。

$2 - 2y = 0$

$2y = 2$

$y = 1$

求めた $y$ の値を1つ目の式に代入して $x$ の値を求めます。

$x - 7(1) + 6 = 0$

$x - 7 + 6 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

したがって、直線は常に点 $(1, 1)$ を通ります。

3. 最終的な答え

(1, 1)