複素数の計算問題です。具体的には、$(1 - j\sqrt{3})^{-3} (2 + j2)^2$ を計算し、直交形式および極形式で表現する必要があります。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。具体的には、$(1 - j\sqrt{3})^{-3} (2 + j2)^2$ を計算し、直交形式および極形式で表現する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、各複素数を極形式に変換します。

$1 - j\sqrt{3}$ の絶対値は $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$。

偏角は $\arctan{\frac{-\sqrt{3}}{1}} = -\frac{\pi}{3}$。

したがって、$1 - j\sqrt{3} = 2e^{-j\frac{\pi}{3}}$ となります。

$2 + j2$ の絶対値は $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

偏角は $\arctan{\frac{2}{2}} = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}$。

したがって、$2 + j2 = 2\sqrt{2}e^{j\frac{\pi}{4}}$ となります。

与えられた式は $(1 - j\sqrt{3})^{-3} (2 + j2)^2$ です。

これらを極形式で表現すると、 $(2e^{-j\frac{\pi}{3}})^{-3} (2\sqrt{2}e^{j\frac{\pi}{4}})^2$ となります。

計算すると、

$2^{-3}e^{j\pi} (2\sqrt{2})^2e^{j\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8}e^{j\pi} (8)e^{j\frac{\pi}{2}} = e^{j\pi}e^{j\frac{\pi}{2}} = e^{j(\pi + \frac{\pi}{2})} = e^{j\frac{3\pi}{2}}$。

したがって、$e^{j\frac{3\pi}{2}} = \cos{\frac{3\pi}{2}} + j\sin{\frac{3\pi}{2}} = 0 + j(-1) = -j$。

直交形式では、$-j$ となります。

極形式では、$e^{j\frac{3\pi}{2}}$ または $1 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}$ となります。

3. 最終的な答え

直交形式: $-j$

極形式: $e^{j\frac{3\pi}{2}}$ (または $1 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}$)