$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$のとき、$x + x^{-1}$と$x^3 + x^{-3}$の値を求める。

はい、承知いたしました。問題7について回答します。

1. 問題の内容

$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$のとき、$x + x^{-1}$と$x^3 + x^{-3}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x + x^{-1}$の値を求める。

$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$の両辺を2乗する。

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$x + 2(x^{\frac{1}{2}})(x^{-\frac{1}{2}}) + x^{-1} = 9$

$x + 2 + x^{-1} = 9$

$x + x^{-1} = 9 - 2$

$x + x^{-1} = 7$

次に、$x^3 + x^{-3}$の値を求める。

$(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x^2x^{-1} + 3xx^{-2} + x^{-3}$

$(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + 3x^{-1} + x^{-3}$

$(x + x^{-1})^3 = x^3 + x^{-3} + 3(x + x^{-1})$

$x^3 + x^{-3} = (x + x^{-1})^3 - 3(x + x^{-1})$

$x^3 + x^{-3} = (7)^3 - 3(7)$

$x^3 + x^{-3} = 343 - 21$

$x^3 + x^{-3} = 322$

3. 最終的な答え

$x + x^{-1} = 7$

$x^3 + x^{-3} = 322$