与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が一次独立かどうかを判定する問題です。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトル$\mathbf{v}_1$と$\mathbf{v}_2$が一次独立であるとは、$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$が成り立つとき、$c_1 = c_2 = 0$となることを言います。

与えられたベクトルに対して、$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$という連立方程式を立てます。

$c_1 - c_2 = 0$

$c_1 + c_2 = 0$

この連立方程式を解くと、$c_1 = 0$かつ$c_2 = 0$が得られます。したがって、これらのベクトルは一次独立です。

(2) 3つのベクトル$\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$が一次独立であるとは、$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$が成り立つとき、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$となることを言います。

与えられたベクトルに対して、$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$という連立方程式を立てます。

$c_1 - c_2 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

この連立方程式を解くと、$c_1 = c_2 = -c_3$が得られます。例えば、$c_3 = 1$のとき、$c_1 = c_2 = -1$なので、

$-1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} -1\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

となり、$c_1, c_2, c_3$がすべて0でなくても$\mathbf{0}$になるので、これらのベクトルは一次従属です。

また、一般に、2次元のベクトル空間において、3つ以上のベクトルは必ず一次従属になります。

3. 最終的な答え

(1) 一次独立

(2) 一次従属