与えられた行列の逆行列を、掃き出し法を用いて求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を、掃き出し法を用いて求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

掃き出し法は、与えられた行列と単位行列を並べた拡大行列を作り、基本変形を行って、与えられた行列を単位行列に変形することで、逆行列を得る方法です。

(1) 行列 $A$ の場合：

拡大行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ -1 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 3 & | & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を3で割る:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B$ の場合：

拡大行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & | & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & | & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -1 & | & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3行目を2で割る:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

2行目に3行目を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -\frac{1}{2} & -2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$