## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題2: 数ベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合として表すことのできない $\mathbb{R}^3$ の数ベクトルを1つ求める。

* 問題3(1): $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、$a_1, a_1 + a_2$ も一次独立であることを示す。

* 問題3(2): $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して、$a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示す。

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2. 解き方の手順

### 問題2

2つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合は、実数 $c_1, c_2$ を用いて

$c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_2 \\ c_1 + c_2 \\ c_1 + c_2 \end{bmatrix}$

と表せます。

この一次結合で表せないベクトルを求めます。一次結合で表せるベクトルの集合は、ベクトル $\begin{bmatrix} -c_2 \\ c_1 + c_2 \\ c_1 + c_2 \end{bmatrix}$ で表されるベクトル全体の集合です。

ベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ がこの一次結合で表せると仮定すると、

$x = -c_2$

$y = c_1 + c_2$

$z = c_1 + c_2$

が成り立ちます。$y = c_1 + c_2$ かつ $z = c_1 + c_2$ より $y=z$ が必要です。

したがって、$y \neq z$ となるようなベクトルは、与えられた2つのベクトルの一次結合で表すことができません。

例えば、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ は、$y=1$ かつ $z=0$ なので $y \neq z$ であり、一次結合で表すことができません。

### 問題3(1)

$a_1, a_1 + a_2$ が一次従属であると仮定します。

つまり、$c_1 a_1 + c_2 (a_1 + a_2) = 0$ かつ $c_1, c_2$ の少なくとも一方が $0$ でないような $c_1, c_2$ が存在すると仮定します。

この式を変形すると、

$(c_1 + c_2) a_1 + c_2 a_2 = 0$

となります。ここで、もし $c_2 \neq 0$ ならば、$a_1, a_2$ が一次従属であることになります。

もし $c_2 = 0$ ならば、$c_1 a_1 = 0$ となります。$c_1, c_2$ の少なくとも一方が $0$ でないという仮定より、$c_1 \neq 0$ です。したがって、$a_1 = 0$ となり、$a_1, a_2$ は一次従属であることになります。

いずれにしても、$a_1, a_2$ が一次独立であるという仮定に矛盾します。

したがって、$a_1, a_1 + a_2$ は一次独立です。

### 問題3(2)

$a_1, a_2$ が一次従属であるので、あるスカラー $c_1, c_2$ (少なくとも一方は0でない) が存在して、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$

が成り立ちます。

$a \in \mathbb{R}^3$ を任意のベクトルとします。このとき、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + 0 a = 0$

が成り立ちます。

$c_1, c_2$ の少なくとも一方は0でないので、$c_1, c_2, 0$ の少なくとも一つは0ではありません。

したがって、$a_1, a_2, a$ は一次従属です。

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3. 最終的な答え

* 問題2: $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (例)

* 問題3(1): 証明完了

* 問題3(2): 証明完了