与えられた2つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表せないベクトルを $\mathbb{R}^3$ の中から1つ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表せないベクトルを $\mathbb{R}^3$ の中から1つ求める問題です。

2. 解き方の手順

2つのベクトルをそれぞれ $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。これらの線形結合で表せるベクトルは、実数 $s, t$ を用いて $s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表されます。

$$s\vec{a} + t\vec{b} = s\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s+t \\ 2s-2t \\ s+t \end{bmatrix}$$

もし、あるベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表せるなら、次の連立方程式が解を持つ必要があります。

$$$$

\begin{cases}

s+t = x \\

2s-2t = y \\

s+t = z

\end{cases}

$$$$

1番目の式と3番目の式から、$x = z$ が得られます。つまり、線形結合で表せるベクトルは、$x = z$ を満たす必要があります。

したがって、$x \neq z$ となるベクトルは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表せません。そのようなベクトルを一つ挙げれば良いので、例えば $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$