2つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合として表すことのできない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを1つ求める。

## 問題1

1. 問題の内容

2つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合として表すことのできない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを1つ求める。

2. 解き方の手順

2つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合は、

$c_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2c_2 \\ c_1+2c_2 \\ c_2 \end{bmatrix}$

と表される。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意の実数である。

この一次結合で表すことのできないベクトルを求めるには、一次結合で表現できるベクトルの特徴を調べる。

$x = 2c_2, y = c_1 + 2c_2, z = c_2$

とすると、

$c_2 = z$

$x = 2z$

$y = c_1 + 2z$

$c_1 = y - 2z$

この一次結合で表せるベクトルは $\begin{bmatrix} 2z \\ y \\ z \end{bmatrix}$ の形である。

$x = 2z$ という関係があるので、この関係を満たさないベクトルを選べば良い。

例えば、$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は、$x=1, z=1$ なので、$x=2z$ という関係を満たさない。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

## 問題2

1. 問題の内容

(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトルの組 $a_1, a_2$ が一次独立ならば、組 $a_1, a_1+a_2$ も一次独立であることを示す。

(2) 一次独立でないことを一次従属であるという。$\mathbb{R}^3$ の数ベクトルの組 $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して組 $a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$c_1 a_1 + c_2 (a_1 + a_2) = 0$

を仮定する。

これを展開すると、

$(c_1 + c_2) a_1 + c_2 a_2 = 0$

$a_1$ と $a_2$ は一次独立なので、

$c_1 + c_2 = 0$ かつ $c_2 = 0$

これより、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ となる。

したがって、$a_1, a_1 + a_2$ は一次独立である。

(2)

$a_1$ と $a_2$ が一次従属なので、ある定数 $c_1$ と $c_2$ が存在し、少なくとも一方は 0 ではなく、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$

が成り立つ。

任意のベクトル $a$ に対して、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + 0 a = 0$

が成り立つ。

$c_1, c_2, 0$ のうち少なくとも1つは 0 でないので、$a_1, a_2, a$ は一次従属である。

3. 最終的な答え

(1) 上記の通り

(2) 上記の通り