2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ であることです。

最初の2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3+a^2) \geq 0$

$a^2 + 10a + 25 - 12 - 4a^2 \geq 0$

$-3a^2 + 10a + 13 \geq 0$

$3a^2 - 10a - 13 \leq 0$

$(3a - 13)(a + 1) \leq 0$

$-1 \leq a \leq \frac{13}{3}$

次の2次方程式 $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 \geq 0$

$9 - 6a + a^2 - 4(a^2 + 2a + 1) \geq 0$

$9 - 6a + a^2 - 4a^2 - 8a - 4 \geq 0$

$-3a^2 - 14a + 5 \geq 0$

$3a^2 + 14a - 5 \leq 0$

$(3a - 1)(a + 5) \leq 0$

$-5 \leq a \leq \frac{1}{3}$

$D_1 \geq 0$ と $D_2 \geq 0$ を満たす $a$ の範囲は、

$-1 \leq a \leq \frac{13}{3}$ かつ $-5 \leq a \leq \frac{1}{3}$ を満たす $a$ の範囲です。

したがって、

$-1 \leq a \leq \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-1 \leq a \leq \frac{1}{3}$