2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフがx軸と共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフがx軸と共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸と共有点を持たない条件は、2次方程式 $-x^2 + (m+2)x - 3m + 2 = 0$ が実数解を持たないことである。

2次方程式に $-1$ を掛けて $x^2 - (m+2)x + 3m - 2 = 0$ とする。

この2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることである。

判別式 $D$ は、

$D = (m+2)^2 - 4(3m - 2)$

$D = m^2 + 4m + 4 - 12m + 8$

$D = m^2 - 8m + 12$

$D = (m - 2)(m - 6)$

$D < 0$ より $(m - 2)(m - 6) < 0$

したがって、$2 < m < 6$

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$