与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

行列 $A$ の固有方程式は

$|A - \lambda E| = 0$

である。ここで、$E$ は単位行列である。

したがって、

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2(3-\lambda) = 0$

固有値は $\lambda = 2$ (重解) と $\lambda = 3$ である。

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda = 2$ のとき、$(A - 2E) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

$A - 2E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y + z = 0$

$x = -y - z$

$\vec{v} = \begin{pmatrix} -y-z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有ベクトルは $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

$\lambda = 3$ のとき、$(A - 3E) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

$A - 3E = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

よって、$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x = 0, x + z = 0, -z = 0$

$x = 0, z = 0$

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

固有ベクトルは $\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

(3) 対角化可能性の判定と対角化

3つの線形独立な固有ベクトル $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が存在するので、$A$ は対角化可能である。

$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

とおくと、

$P^{-1} A P = D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

対角化可能であり、$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ となる。