2次関数 $y = 2x^2 + 5x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点を調べ、共有点が存在する場合は、その $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 5x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点を調べ、共有点が存在する場合は、その $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

$x$ 軸との共有点を求めるには、$y = 0$ とおいて、$x$ についての方程式を解けばよい。

したがって、$2x^2 + 5x + 1 = 0$ を解く。

これは二次方程式なので、解の公式を用いる。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられる。

今回の問題では、$a = 2$, $b = 5$, $c = 1$ であるから、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

となる。

$b^2 - 4ac = 17 > 0$ であるから、実数解を2つ持つ。

したがって、共有点は2つ存在する。

3. 最終的な答え

共有点は2つあり、その $x$ 座標は $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ である。