不等式 $9^x + 3^{x+1} > 18$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $9^x + 3^{x+1} > 18$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$9^x$ を $(3^2)^x = (3^x)^2$ と変形し、$3^{x+1}$ を $3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$ と変形します。

すると、不等式は $(3^x)^2 + 3 \cdot 3^x > 18$ となります。

ここで、$t = 3^x$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は $t^2 + 3t > 18$ となります。

これを整理すると、$t^2 + 3t - 18 > 0$ となります。

左辺を因数分解すると、$(t+6)(t-3) > 0$ となります。

$t>0$ なので、$t+6>0$ は常に成立します。したがって、$t-3 > 0$ となればよいので、$t > 3$ となります。

$t = 3^x$ であったので、$3^x > 3$ となります。

これは、$3^x > 3^1$ と同値なので、$x > 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x > 1$