行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ について、$A^n$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ について、$A^n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の固有値を求める。固有方程式は

$\det(A - \lambda I) = 0$

ここで、$I$ は単位行列である。

$\det \begin{pmatrix} -1 - \lambda & 3 \\ 2 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (-1 - \lambda)(4 - \lambda) - (3)(2) = 0$

$-4 + \lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 10 = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda + 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5$ と $\lambda_2 = -2$ である。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 5$ のとき:

$(A - 5I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x + 3y = 0 \implies y = 2x$.

したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルである。

$\lambda_2 = -2$ のとき:

$(A + 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 3y = 0 \implies x = -3y$.

したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルである。

ここで、行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ を定義する。このとき、

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (-3)(2)} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

$D = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.

したがって、$A = P D P^{-1}$.

$A^n = (P D P^{-1})^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5^n & -3(-2)^n \\ 2(5^n) & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5^n + 6(-2)^n & 3(5^n) - 3(-2)^n \\ 2(5^n) - 2(-2)^n & 6(5^n) + (-2)^n \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5^n + 6(-2)^n & 3(5^n - (-2)^n) \\ 2(5^n - (-2)^n) & 6(5^n) + (-2)^n \end{pmatrix}$