与えられた行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるためには、拡大行列を作成し、行基本変形を用いて単位行列に変形します。

拡大行列 $[P|I]$ は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 2行目に1行目の2倍を加えます ($R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 3行目から1行目を引きます ($R_3 \leftarrow R_3 - R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 2行目と3行目を入れ替えます ($R_2 \leftrightarrow R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & | & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

4. 3行目から2行目の2倍を引きます ($R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

5. 1行目から3行目を引きます ($R_1 \leftarrow R_1 - R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

6. 3行目に-1を掛けます ($R_3 \leftarrow -R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列 $P^{-1}$ は次のようになります。

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$