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$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める問題です。

代数学式の計算平方根因数分解展開有理化
2025/7/18

1. 問題の内容

x=5+32x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} , y=5−32y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} のとき、x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、x+yx+y と xyxy を計算します。
x+y=5+32+5−32=252=5x+y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}
xy=5+32⋅5−32=(5)2−(3)24=5−34=24=12xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
次に、x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 を (x+y)2−xy(x+y)^2 - xy と変形します。
x2+xy+y2=(x+y)2−xyx^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy
x2+xy+y2=(5)2−12=5−12=102−12=92x^2 + xy + y^2 = (\sqrt{5})^2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

3. 最終的な答え

92\frac{9}{2}

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