2つの2次方程式 $x^2 - 5x + 2m = 0$ と $2x^2 - 3x + 3m = 0$ が共通の解を持つとき、定数 $m$ の値と、そのときの共通の解を求めよ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - 5x + 2m = 0$ と $2x^2 - 3x + 3m = 0$ が共通の解を持つとき、定数 $m$ の値と、そのときの共通の解を求めよ。

2. 解き方の手順

共通の解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$\alpha^2 - 5\alpha + 2m = 0$ ...(1)

$2\alpha^2 - 3\alpha + 3m = 0$ ...(2)

(1)式を2倍して(2)式から引くと、

$2(\alpha^2 - 5\alpha + 2m) - (2\alpha^2 - 3\alpha + 3m) = 0$

$2\alpha^2 - 10\alpha + 4m - 2\alpha^2 + 3\alpha - 3m = 0$

$-7\alpha + m = 0$

したがって、

$m = 7\alpha$ ...(3)

(3)式を(1)式に代入すると、

$\alpha^2 - 5\alpha + 2(7\alpha) = 0$

$\alpha^2 - 5\alpha + 14\alpha = 0$

$\alpha^2 + 9\alpha = 0$

$\alpha(\alpha + 9) = 0$

したがって、$\alpha = 0$ または $\alpha = -9$

(i) $\alpha = 0$ のとき、(3)式より $m = 7(0) = 0$。

このとき、2つの2次方程式は $x^2 - 5x = 0$ と $2x^2 - 3x = 0$ となり、

$x(x-5) = 0$ と $x(2x-3) = 0$ となる。

それぞれの解は $x=0, 5$ と $x=0, \frac{3}{2}$ となるため、共通解は $x=0$ である。

(ii) $\alpha = -9$ のとき、(3)式より $m = 7(-9) = -63$。

このとき、2つの2次方程式は $x^2 - 5x - 126 = 0$ と $2x^2 - 3x - 189 = 0$ となる。

$x^2 - 5x - 126 = (x-14)(x+9) = 0$ より $x = 14, -9$

$2x^2 - 3x - 189 = (2x+21)(x-9) = 0$ より $x=9, -\frac{21}{2}$

$x=9$は間違い

$2x^2 - 3x - 189 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-189)}}{4}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1512}}{4}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1521}}{4}$

$x = \frac{3 \pm 39}{4}$

$x = \frac{42}{4}$ or $x = \frac{-36}{4}$

$x = \frac{21}{2}$ or $x=-9$

共通解は $x = -9$

3. 最終的な答え

$m = 0$ のとき、共通解は $0$

$m = -63$ のとき、共通解は $-9$